歐拉公式推導 歐拉公式推導簡述

歐拉公式推導如下。

1、歐拉公式是e^ix=cosx+isinx，e是自然對數的底，i是虛數單位。它將三角函數的定義域擴大到複數，建立了三角函數和指數函數的關係，它在複變函數論裏佔有非常重要的地位。

2、e^ix=cosx+isinx的證明： 因為e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+…… cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!…… sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!…… 在e^x的展開式中把x換成±ix. (±i)^2=-1, (±i)^3=??i, (±i)^4=1 …… e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!??x^3/3!+x^4/4!…… =(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……) 所以e^±ix=cosx±isinx 將公式裏的x換成-x，得到： e^-ix=cosx-isinx，然後採用兩式相加減的方法得到： sinx=(e^ix-e^-ix)/(2i)，cosx=(e^ix+e^-ix)/2.這兩個也叫做歐拉公式。將e^ix=cosx+isinx中的x取作π就得到： e^iπ+1=0。