1、△ABC的內心為I，內切圓與三邊切於D、E、F，那麼：AE=AF，BD=BF，CD=CE
2、設三角形的三邊程度分別是a、b、c，那麼：BD=BF=(a+c-b)/2
3、線段的比例：BD:CD=(a+c-b):(a+b-c)=cot(B/2):cot(C/2)進而，得到一個三角恆等式：(sinA+sinC-sinB):(sinA+sinB-sinC)=cot(B/2):cot(C/2)
4、設P是BC的中點，D關於P的對稱點是D1，那麼：AB+BD1=AC+CD1也就是説，AD1平分△ABC的周長。
5、設Q是BA中點，R是AB中點；
用上面的方法，同樣可以構造出△ABC的周長平分線BE1和CF1。
6、三角形的三條周長平分線共點，這個點稱為△ABC的界心，標記為J。
7、設G為△ABC的重心，那麼，I、G、J三點共線，且JG=2*IG。
8、由此可知，△ABC和△PQR關於G透視對應，對應關係是：A、B、C對應P、Q、R，I對應J，直線AJ對應直線PI。所以，直線PI是△PQR的周長平分線。
9、設PI與QR交於T，那麼：A、T、D共線。
10、S(BCI):S(CAI):S(ABI)=a:b:c=sinA:sinB:sinC這樣可以求出I相對於△ABC的重心座標是(sinA:sinB:sinC)。
11、直角三角形的內心：△BAC中，AK⊥BC於K，I、M、N分別是△ABC、ABK、ACK的內心，ID⊥BC於D，AK交PQ於T。
求證：四邊形DNTM是正方形。
12、設△ABC的三邊長分別是a、b、c，那麼，容易算出：BM:MQ=PN:NC=PT:TQ=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
BD:DC=(a+c-b):(a+b-c)
要證明DNTM是正方形，可以先間接證明：
DN//MT//BP
DM//NT//CQ
這就需要證明(a+c-b):(a+b-c)=(a*c+c^2):(a*b+b^2)
因為a^2=b^2+c^2，所以容易證明上式成立。
再證明DM=DN。
因為DM=BD*CQ/BC，DN=CD*BP/BC，
所以，轉而證明：BD:BP=CD:CQ
而這一點是比較容易的了。
哇咔範
